リーマン予想は解決するのか?【趣味・読書】
 「リーマン予想」について知らなかったので購入。対談形式で話が進んでいく一方、「リーマン予想」を知るために必要な知識がまとめられているので非常に読みやすい。文系の人も是非!
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 「解析接続」のニュアンスの説明が面白い。解析接続を「象を触っているコビトたち」と表現している。象の尻尾を触っているコビトと鼻を触っているコビトでは全体像のイメージは異なっているが、象の実体はそれらを「つなぎ合わせた」ものである。

 これを数学の言葉で書くと、複素数全域で定義されたある関数F(s)というものが存在していて、その実部が1より大きいようなsについてはF(s)=「自然数のs乗の逆数の無限和」となっているとする。実部が1より小さいようなsについては、F(s)の値をもってしてζ(s)の値を定義するらしい。

 すると、1+4+9+16+・・・のような一見発散しそうな無限和の値が、実は0ということがわかるらしい。これは19世紀にリーマンが意味付けをしたらしいが、全然納得がいかない・・・。数学って奥が深い。
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# by dyjobyate | 2009-07-31 00:55 | 趣味・読書
ゲージ場【備忘録】
 ゲージ場がちょっと解ってきたのでメモ。
 
 古典電磁気学においてベクトルポテンシャルは電磁場を記述するために補助的な役割を果たしている。しかし量子力学を最初に認めると、ベクトルポテンシャルが電磁場よりも先に導入されてしまう。一般的にベクトルポテンシャルが基本的な場(=ゲージ場)であると考えられている。ゲージ場はディラックの非可積分的位相から直接的に導入できるが、定義はより間接的になされている。

 例えば、あるベクトルポテンシャルで記述できる系が大局的ゲージ変換(=空間の各点によらない変換)に対する不変性を持っていたとする。この系は局所的ゲージ変換(=空間各点による変換)に対しては一般には変わってしまう。ここで不変性を持たせるために導入する場(この場合は電磁場)がゲージ場で、この場合には位相変換に対する不変性で記述されているためU(1)ゲージ場と呼ばれる。
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# by dyjobyate | 2009-07-29 00:02 | 備忘録
素励起【備忘録】
 「マクロな物体のあらゆる弱い励起状態は、量子力学においては個々の素励起の結合と見なすことができる。これらの素励起は、物体によって占められた体積の中を動き、ある運動量とエネルギーを持つ準粒子のように振る舞う。素励起の数が十分少ないうちは、相互作用を考える代わりに、ある理想気体ように考えられる。」(byランダウ)

 多体問題を扱う上でこれまでに様々な工夫が行なわれてきた。中でも有名な手法は、着目している粒子以外を自己無撞着場として取りこみ、独立な粒子に着目して解を導出し、そこからSlater行列などを用いて多体問題にアプローチをする方法である。また、第2量子化を用いての記述は非常に有効で、いったん規格直交系をなす近似解が得られれば、より高次の摂動論の取り扱いへ応用できる。

 しかし、第2量子化だけではなく、素励起という概念も多くの理論家によって利用されている。これは相関を持つ多体系の複雑な運動をそのまま素直に受け入れて、それを基底状態から考え直していこうとする立場である。
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# by dyjobyate | 2009-07-26 22:17 | 備忘録
ハーフマラソンまであと2日【日記】
 最終調整終了!なかなか調子良いかも。朝練も毎日できたし禁酒も続いている。あとは本番で結果を残すのみだ。天気予報によると雨っぽいけど土砂降りにならなければまぁ良いでしょう。

 近々の目標は6月下旬に京都である国内会議…。正確な結果を出さなくてはまずい。プログラムにこんな時間取られるとは思わなかったけど、ある程度慣れるまでは我慢しなくてはならないのかな。9月には再び京都と熊本で発表する機会があるのでそれに向けて研究進めなくては。
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# by dyjobyate | 2009-06-05 09:50 | 日記
KT転移【備忘録】
 【3次元の相転移】
 He4は零点振動によりT=4.2[K]まで液体にならない。さらに冷却するとT=2.17[K]で比熱に飛びが見られる。このとき系の対称性が破れ超流動体(イメージは摩擦のない液体)が発現し、さらに温度を下げていくことでその割合が増していく。絶対零度では超流動成分のみが存在するようになる。

 【2次元の相転移】
 2次元ではどのような振る舞いを見せるであろうか。T=4.2[K]近傍で比熱にピークを持つが、ゆらぎのために超流動への転移はできない。一般に低次元系では量子ゆらぎが効いてくることが知られているが、果たして超流動体は存在できるのであろうか。

 相転移が起こるときには系の対称性が破れて長距離秩序が形成される。3次元系では相関関数が定数になり長距離秩序の存在が示されるが、2次元系では相関関数はべき乗で減衰(=準長距離秩序)してしまい長距離秩序は持たない。しかし、長距離秩序を持たないからと言って相転移が起こらないわけではなく、トポロジカル励起によって相転移が引き起こされる場合がある。KosterlitzとThoulessはトポロジカル励起による相転移には渦の励起が重要となることを示した

 トポロジカル励起とはオーダーパラメターが連続的に分布している中でオーダーパラメターをいかに連続的に変形させても取り除けない(トポロジカルに安定な)欠陥の生成である。温度が上がっていくと、トポロジカル電荷が±1の最もエネルギーの低い欠陥対が生成され束縛状態が形成される。ある温度で束縛状態が壊れ欠陥が単独で動き回れるようになり、その点で相転移が起こっていると理解できる。この流れをKT転移を呼んでおり、Bose液体やXYスピン系、2次元固体で起こることが知られている。
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# by dyjobyate | 2009-05-27 23:03 | 備忘録
ゲルプライオ4【日記】
 ハーフマラソンまで残り2週間!先週から本格的に朝練を始めたのもあり、次第に調子が上がってきている。昨日、ASICSの「ゲルプライオ4」を購入。今日の朝練で靴擦れを起こした…。
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# by dyjobyate | 2009-05-26 07:46 | 日記
ライティングは難しい【リバネス】
 今日は朝から晩まで四ツ谷。ペアになったお互いインタビューを行ない、制限時間内で記事を作成した。ガンガン書いて上達あるのみ!ちょっと論文読んでから寝ようかな。
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# by dyjobyate | 2009-05-10 23:35 | リバネス