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リーマン予想は解決するのか?【趣味・読書】
 「リーマン予想」について知らなかったので購入。対談形式で話が進んでいく一方、「リーマン予想」を知るために必要な知識がまとめられているので非常に読みやすい。文系の人も是非!
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 「解析接続」のニュアンスの説明が面白い。解析接続を「象を触っているコビトたち」と表現している。象の尻尾を触っているコビトと鼻を触っているコビトでは全体像のイメージは異なっているが、象の実体はそれらを「つなぎ合わせた」ものである。

 これを数学の言葉で書くと、複素数全域で定義されたある関数F(s)というものが存在していて、その実部が1より大きいようなsについてはF(s)=「自然数のs乗の逆数の無限和」となっているとする。実部が1より小さいようなsについては、F(s)の値をもってしてζ(s)の値を定義するらしい。

 すると、1+4+9+16+・・・のような一見発散しそうな無限和の値が、実は0ということがわかるらしい。これは19世紀にリーマンが意味付けをしたらしいが、全然納得がいかない・・・。数学って奥が深い。
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by dyjobyate | 2009-07-31 00:55 | 趣味・読書
ゲージ場【備忘録】
 ゲージ場がちょっと解ってきたのでメモ。
 
 古典電磁気学においてベクトルポテンシャルは電磁場を記述するために補助的な役割を果たしている。しかし量子力学を最初に認めると、ベクトルポテンシャルが電磁場よりも先に導入されてしまう。一般的にベクトルポテンシャルが基本的な場(=ゲージ場)であると考えられている。ゲージ場はディラックの非可積分的位相から直接的に導入できるが、定義はより間接的になされている。

 例えば、あるベクトルポテンシャルで記述できる系が大局的ゲージ変換(=空間の各点によらない変換)に対する不変性を持っていたとする。この系は局所的ゲージ変換(=空間各点による変換)に対しては一般には変わってしまう。ここで不変性を持たせるために導入する場(この場合は電磁場)がゲージ場で、この場合には位相変換に対する不変性で記述されているためU(1)ゲージ場と呼ばれる。
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by dyjobyate | 2009-07-29 00:02 | 備忘録
素励起【備忘録】
 「マクロな物体のあらゆる弱い励起状態は、量子力学においては個々の素励起の結合と見なすことができる。これらの素励起は、物体によって占められた体積の中を動き、ある運動量とエネルギーを持つ準粒子のように振る舞う。素励起の数が十分少ないうちは、相互作用を考える代わりに、ある理想気体ように考えられる。」(byランダウ)

 多体問題を扱う上でこれまでに様々な工夫が行なわれてきた。中でも有名な手法は、着目している粒子以外を自己無撞着場として取りこみ、独立な粒子に着目して解を導出し、そこからSlater行列などを用いて多体問題にアプローチをする方法である。また、第2量子化を用いての記述は非常に有効で、いったん規格直交系をなす近似解が得られれば、より高次の摂動論の取り扱いへ応用できる。

 しかし、第2量子化だけではなく、素励起という概念も多くの理論家によって利用されている。これは相関を持つ多体系の複雑な運動をそのまま素直に受け入れて、それを基底状態から考え直していこうとする立場である。
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by dyjobyate | 2009-07-26 22:17 | 備忘録